Klasiskās matemātikas neizskaidrojamā efektivitāte datorzinātnē

  Rūsiņš Mārtiņš Freivalds

              Jau gadsimtiem ilgi pastāv oficiāli neatzīts, tomēr visiem pazīstams dalījums “tīrā matemātika” un “lietišķā matemātika”. Nav brīnums, ka datorzinātnē tiek lietoti lietišķās matemātikas rezultāti. Daudz pārsteidzošāk ir tas, ka daudzi rezultāti, kas savulaik tika uzskatīti par tīrās matemātikas rezultātiem, ir bijuši izšķiroši nozīmīgi datorzinātnes attīstībā. Vairākos gadījumos tie noveduši pie ļoti praktiskiem sasniegumiem , kas ietekmējuši pasaules ekonomiku.

            Runa veltīta galvenokārt 19. gadsimta beigu un 20. gadsimta sākuma tīrās matemātikas rezultātiem un to lietojumiem datorzinātnē.

            1904. gadā Rīgas Politehniskā institūta profesors Pīrss Bols pierādīja nekustīgā punkta teorēmu. Kaut gan darbs bija publicēts Journal für die reine und angewandte Mathematik - vienā no vadošajiem tā laika matemātiskajiem žurnāliem, šī teorēma pievērsa matemātiķu uzmanību tikai pēc tam, kad to par jaunu atklāja Nīderlandes matemātiķis L.E.J. Brouvers  1910. gadā.  Jau 1928. gadā  Džons fon Neimans vispārināja šo rezultātu un ieguva teorēmu par minimaksu – pamatteorēmu matemātikas nozarē “matemātiskā ekonomika un spēļu teorija”. Četrdesmitajos gados Amerikāņu loģiķis Stīvens Klīni izstrādāja moderno algoritmu teoriju, un tajā nozīmīgu vietu ieņem viņa rekursijas teorēma, kas faktiski ir nekustīgā punkta teorēmas pārformulējums rekursīvo funkciju pasaulei. Lai arī nav patīkami to pieminēt, bet faktiski tieši Klīni teorēma ir tas teorētiskais pamats, kas ļāva izveidot datoru vīrusus. Protams, ne Bols, ne Klīni nav atbildīgi par tādu viņu rezultātu lietojumu.

            1859. gadā Bernhards Rīmans formulēja hipotēzi par kādu kompleksā mainīgā funkciju, sauktu Rīmana dzeta funkcija. Vēlāk izrādījās, ka šai vēl joprojām nepierādītajai (vai neapgāztajai) hipotēzei ir dziļas sekas visās matemātikas nozarēs. 1975. gadā Gerijs Millers pierādīja, ka no t.s. paplašinātās Rīmana hipotēzes seko, ka par naturāliem skaitļiem var polinomiālā laikā noskaidrot, vai tie ir pirmskaitļi, vai salikti skaitļi. Tagad ir izveidoti ārkārtīgi daudzi algoritmi, kuru darba laiks vai algoritma korektība ir atkarīga no tā, vai  paplašinātā Rīmana hipotēze ir patiesa.

            Runā tiek apskatīti vēl vairāki  piemēri, kad 20. gadsimta matemātikas jēdzieni un rezultāti noved pie sensacionāliem atklājumiem datoru zinātnē.Spilgtākais no tiem ir p-adisku skaitļu izmantošana polinomu faktorizācijas algoritmu veidošanā.

            Grūti iedomāties, ka kādai citai civilizācijai būtu vesela skaitļa jēdziens, kurš atšķirīgs no mums pazīstamā. Līdzīgi var teikt par racionāliem skaitļiem, ko iegūst dalot veselus skaitļus vienu ar otru. Izrādās, ka ar iracionālajiem skaitļiem ir citādi. Iespējama matemātika, kas ir tik pat bezpretrunīga, kā mums pazīstamā, bet kurā iracionālu skaitļu lomu pilda p-adiski skaitļi pie dažādiem pirmskaitļiem p. Diemžēl, mums parastos iracionālos skaitļus un p-adiskos skaitļus nevar savienot vienā matemātikā. Tomēr tieši p-adisko skaitļu lietošana ļāva izveidot algoritmu, kas sadala reizinātājos algebriskus polinomus ar racionāliem koeficientiem. Ja kāds varētu izveidot līdzīgu algoritmu veselu skaitļu sadalīšanai reizinātājos, tad sabruktu visas mūsdienās lietojamās kriptogrāfijas sistēmas.